הסברים ופתרון תרגילים

שלום שחר,

תיאורטית אפשר להעלות מספר בחזקה אי-רציונלית, אך לא זכור לי מצב כזה בבחינה.

אחד הכלים שאנחנו מלמדים בקורס להתמודדות עם מספרים לא נוחים לחישוב הוא הערכת סדר גודל. למשל, פאי שווה בערך ל3.14. במצב ההיפותטי בו נדרש לחשב 2 בחזקת פאי (שהוא מספר אי-רציונלי), ניתן להעריך את התוצאה כגדולה במעט מ-2 בחזקת 3, כלומר קצת יותר מ-8.

בהצלחה!
אסף

שלום ליאור

חישוב הסתברות שווה לחלוקה של מספר האפשרויות הטובות – האירועים שאנחנו רוצים שיקרו – במספר האפשרויות הכולל – כלל התרחישים האפשריים. תחילה נחשב את ההסתברות עבור כל מאורע בנפרד:

1. עבור האירוע הראשון – אין הגבלה, רונית יכולה לבחור לימון מכל אחד מהעצים שבגינתה. כלומר, ההסתברות הראשונה שווה ל-1: 10 אפשרויות טובות חלקי 10 אפשרויות סה"כ.
2. עבור המאורע השני – היא יכולה לבחור בכל אחד מהעצים, *חוץ* מהעץ שבחרה בפעם הראשונה. כלומר, סה"כ יש לה 9 אפשרויות טובות מתוך 10 סה"כ – ההסתברות שווה ל9 חלקי 10.
3. עבור המאורע השלישי – היא יכולה לבחור בכל עץ *חוץ* מאלו שכבר בחרה בפעמיים הקודמות. לכן, יש לה 8 אפשרויות טובות מתוך 10 – ההסתברות שווה ל-8 חלקי 10, שבר שניתן לצמצם ל-4 חלקי 5.

לאחר שחישבנו את ההסתברות עבור כל מאורע בנפרד, יש לכפול את ההסתברויות זו בזו. זו כיוון שאנחנו רוצים לדעת מה הסיכוי *שגם* בפעם השנייה *וגם* בפעם השלישית היא בחרה בעצים שונים. נכפול 1 (ההסתברות הראשונה) ב-9 חלקי 10 (ההסתברות השנייה) ב-4 חלקי 5 (השלישית). נקבל 36 חלקי 50, שבר שניתן לצמצם ל-18 חלקי 25.

בהצלחה!

נניח שאני נוסע 1 ק"מ בשעה. זה בעצם אומר שאני נוסע 1 ק"מ ב60 דק'. בכל דקה יש 60 שניות ולכן אני נוסע 1 ק"מ ב3600 שניות (60 כפול 60) כל ק"מ הוא 1,000 מטר. אז אני בעצם נוסע 1,000 מטר ב3,600 שניות נצמצם קצת… (חילוק ב 1000) 1 מטר ב3.6 שניות לכן כדי לעבור מק"מ לשעה למטר בשניה צריך לחלק ב 3.6 כדי לעבור ממטר בשניה לק"מ בשעב צריך לכפול ב3

אם יש חלוקה של שתי שברים לדוגמה:
1
_
2
___

1
_
4

אז כופלים את החיצוניים וזה התוצאה של המונה ומחלקים אח"כ בפנימיים וזה התוצאה של המכנה דהיינו:

1*4
__
2*1

וזה שווה 2…

מרי אם תקחי עיפרון ותבצעי את הפעולות בציור של חצי עיגול / סהר קטן, מתקבלת אוזן….

הבעיה שלך נובעת מהבנה מוטעית של המושג מספר עוקב. 99 הוא לא מספר עוקב של 100. 100 הוא עוקב של 99. מספר עוקב הינו מספר שעוקב -בא אחרי- מספר אחר בהפרש קבוע כגון 2 הוא עוקב של 1 או 4 הוא עוקב זוגי של 2. במספרים עוקבים שליליים שזה עד כמה שידוע לי לא נכלל בפסיכומטרי שם -99 הוא העוקב של -100. מה שחשוב הוא מספר עוקב הוא המספר הגדול יותר ממספר כשלהו. שלקחת שבא אחריו בהפרש של אחד ( אלא אם מוגדר עוקב זוגי או עוקב אי זוגי) ולא מספר שקטן ממנו ב1. לכן לגבי השאלה ששאלת 100 לא אפשרי כי העוקב שלו הוא 101 שכבר לא נכלל בקבוצה שהוגדרה.

שלום גילה, שאלה טובה, לצערי אני לא יודע לענות עליה (: הפורום עוסק בנושאים הקשורים לבחינה הפסיכומטרית, שסביר להניח שאינה רלוונטית לתלמידי כיתה ד'. אסף

האם יש צורף להסביר את הנוסחה לתלמידי כיתה ד'?

יש נוסחה למציאת מספר האלכסונים במצולע בעל n צלעות (אני לא יודעת אם זה מה שאת מחפשת אבל זה מה שאני מכירה): n(n-3): 2 בהצלחה!

הנוסחה הזו אינה נוסחה לחישוב שטח כל מצולע משוכלל, אלא נוסחה לחישוב שטח משולש משולש שווה צלעות בלבד. שטח משושה משוכלל שווה בעצם לשטחם של 6 משולשים שווי צלעות, לכן ניתן לומר ששטח משושה משוכלל הוא 6 כפול הנוסחה לשטח משולש שווה צלעות. עם זאת, שטחים של רבים מהמצולעים המשוכללים האחרים – ריבוע, מחומש, מתומן וכן הלאה – כלל אינם קשורים לנוסחה זאת משום שהם אינם בנויים ממשולשים שווי צלעות. בקיצור, מה שצריך לזכור זה שהנוסחה שהצעת אינה באמת נוסחה לחישוב שטח מצולע משוכלל, ושנוסחה זו קשורה למשולש שו"צ ו-משושה משוכלל.

שלום עידן, כשקראתי את השאלה שלך הדבר הראשון שחשבתי עליו הוא שכשמדובר על שארית חלוקה אנחנו מתייחסים רק למספרים טבעיים, כי הרי חלוקה של מספרים שליליים היא פיקטיבית (הרי אני יכולה לחלק עוגה אחת לחמישה אנשים, אבל לא יכולה לחלק מינוס עוגה לחמישה..). שארית החלוקה מתייחסת ליתרה שנשארת לי מחלוקה של משהו בכמות מסוימת למס' חלקים, וכשמדובר על מס' שלילי שמחולק במספר חיובי (או להפך) אי אפשר לדבר על יתרה. בכל מקרה, חיפשתי הסבר יותר מעמיק, ומצאתי תשובה שנתן אור שריר בפורום ב2007 : שארית מבחינה מתמטית מוגדרת עבור מספרים טבעיים באופן הבא: אם a ו-d הם מספרים טבעיים (וd שונה מאפס) אז קיימים q ו-r המקיימים את המשוואה הבאה: a = q*d + r q מבטא את המנה, ו-r מבטא את השארית. כלומר, בחלוקת a בd, מתקבלת מנה ושארית המקיימות את המשוואה הנ"ל. לדוגמא 6 חלקי 4: 6 = 1*4 + 2 כלומר המנה היא 1 (4 נכנס פעם אחת ב-6) והשארית היא 2. עבור מספרים שליליים ניתן להגדיר שארית בשני אופנים. לדוגמא מינוס 2 חלקי 5: -2 = 0*5 + (-2) או -2 = (-1)*5 + 3 נראה לי שזה מסביר בצורה ברורה מדוע כשמדובר על שארית חלוקה לא מתייחסים למספרים שליליים .

הספר הסביר שכל מאורע מחושבת ההסתברות בנפרד, כי זה לא משנה מה יצא לו בהטלות הקודמות, הסיכויים מתאפסים בכל הטלה מחדש. בין ההטלה הראשונה לשניה או לאחרות אין שום קשר… זה כמו שישאלו – לדנה יש 3 בנות, מה הסיכוי שהעובר שיש לה בבטן הוא גם בת? הסיכוי הוא 50:50 – העובר או הוא בן או בת וזה ממש לא משנה מה נולד לה לפני כן… בעצם המידע שהם נתנו רק נועד לבלבל אותך. בשורה תחתונה, השאלה היא "מה הסיכוי שיצא בהטלת 2 קוביות 6:6? התשובה לזה היא: הסיכוי להטיל בקוביה אחת את הספר 6 היא 1 חלקי 6. הסיכוי להטיל 6 בקוביה השניה הוא גם 1 חלקי 6. אבל, מכיוון שאת רוצה שבשתייהן יצא לך 6 (גם בקוביה מס' 1 וגם(!!) בקוביה מס' 2) ולא רק באחת מהן, את צריכה לכפול את הסיכויים אחד בשני. כלומר – שישית כפול שישית —> 1 חלקי 36. נראה לי שאת מבלבלת את דרך הפתרון עם פתרון לשאלה אחרת – אם היו שואלים "מה הסיכוי שיצא ב 4 הטלות רצוף 6:6" אז היית צריכה לחשב מה הסיכוי שבכל הטלה יצא 6:6 ואז לעשות "וגם" (כפל) בין כל 4 ההטלות והתוצאה הייתה 1 חלקי (6 בחזקת 4). מקווה שקלעתי למה שסיבך אותך..

חברים, אני אתחיל ואומר שהביטוי אפס בחזקת אפס הוא ביטוי לא מוגדר מבחינת המתמטיקה הרלבנטית למבחן הפסיכומטרי וזה החלק החשוב ביותר בהודעה שלי. למי שמתעניין מעבר לכך, אפס בחזקת אפס נקרא בשפת המתמטיקה צורת ביניים מכיוון שאין לו ערך שהוא מספר ממשי. מצד שני אם נבחן את ההתכנסות של הביטוי האלגברי X בחזקת X כאשר X שואף לאפס (ונעזר בכלים מתמטיים קצת יותר מורכבים ומופשטים) נקבל שהביטוי שואף לערך 1. כך שבאופן כללי (וגם במחשבון של ווינדוס שעושה קירובים) הביטוי אפס בחזקת אפס שווה 1. ובאופן ספציפי למבחן הפסיכומטרי אפס בחזקת אפס אינו מוגדר. שבוע טוב!